Nicolò Vignatavan - Il significato grafico della derivata di una funzione fratta

Il significato grafico della derivata di una funzione fratta studiato in alcuni casi particolari


Nicolò Vignatavan


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La derivata di una funzione fratta f(x)/g(x), inteso il numeratore come f(x) ed il denominatore come g(x), secondo le proprietà del calcolo del rapporto incrementale, risulta: [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]^2.

A mio parere, in tale formula, ricavata algebricamente, è implicito un significato grafico-geometrico per cui essa può essere verificata sul piano cartesiano.


1mo caso: f(x) e g(x) sono funzioni di primo grado


Ipotizziamo che f(x) e g(x) abbiano lo stesso grado polinomiale, ovvero, secondo un caso classico, siano due equazioni di rette generiche, con inclinazione non nulla ed intersezione con l'asse y: il loro rapporto, graficamente, in termini infinitesimi, corrisponderà ad un valore numerico puntuale, identificato da una retta orizzontale y = q. Tale retta, avendo inclinazione nulla, avrà un coefficiente angolare uguale a 0, dunque una derivata nulla.



Secondo la formula di derivata prima della funzione fratta che stiamo studiando, essa, svolgendo i calcoli, a numeratore presenterà un grado polinomiale di valore 1 e sarà identificata graficamente da una retta ed a denominatore di valore 2 e sarà identificata da una parabola. Il rapporto delle due figure geometriche, a livello infinitesimo, corrisponderà a 0^(+-)/+-oo, che darà come risultato uno 0^(+-), che corrisponde perfettamente al valore di derivata studiato per la funzione fratta della consegna, analizzata graficamente.


2ndo caso: f(x) e g(x) sono rispettivamente di secondo e di primo grado


Ipotizziamo ora che la funzione scelta a priori abbia un diverso grado polinomiale e che, per esempio, abbia come numeratore una funzione parabolica di grado polinomiale uguale a 2 ed a denominatore una funzione retta, sempre con inclinazione non nulla ed intersezione con l'asse y, di grado polinomiale uguale ad 1. Sviluppando graficamente il loro rapporto otteniamo come risultato una retta generica completa, la cui inclinazione, ovviamente, risulta un valore numerico puntuale m, corrispondente al suo coefficiente angolare ed al suo valore di derivata.



Svolgendo, secondo la formula, la derivata prima della funzione fratta che stiamo studiando, ci accorgiamo come sia il numeratore che il denominatore presentino una funzione parabolica di secondo grado. Il rapporto delle due figure geometriche, a livello infinitesimo, corrisponderà a +-oo/+-oo, che, utilizzando il metodo del raccoglimento, darà come risultato un valore numerico puntuale. Esso dunque, in termini di gerarchia degli infiniti, corrisponde esattamente al valore puntuale risultato del rapporto grafico della funzione fratta data dalla consegna.



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